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Eine Schwingung (Oszillation) ist eine sich wiederholende Änderung einer Größe typischerweise im Zeitverlauf. Eine Sinusschwingung ist der typische Vertreter (auch bezeichnet als harmonische Schwingung):
Die Veränderung des Werts y im Verlauf der Zeit t wird in diesem Fall durch eine Sinusfunktion beschrieben.
A ... Amplitude (maximale Auslenkung)
w ... Kreisfrequenz (gesprochen: Omega)j ... Phase (gesprochen: Phi)
Die Kreisfrequenz ist gegeben durch:
p ... Kreiszahl Pi
f ... Frequenz (Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit)
T ... Schwingungsdauer
Nachfolgend ein Beispiel einer Sinusschwingung mit der Amplitude A = 1, der Frequenz f = 1 und der Phase j = 0
Zunächst wird ein Zeitvektor erzeugt. Viele Möglichkeiten stehen dafür zur Verfügung, beispielsweise
t = linspace (0, 2, 1000);
Hier generiert der Befehl linspace zwischen 0 und 2 insgesamt 1000 Zahlenwerte.
Zuweisung der weiteren Konstanten (wie hier angedeutet können auch mehrere Parameter in einer Matlab-Zeile definiert werden):
A = 1; f = 1;
Und schließlich die eigentliche Funktion (pi ist eine 'fixe' Konstante in Matlab):
y = A*sin(2*pi*f*t);
Graphische Ausgabe mit:
plot (t, y), grid on, xlabel ('Zeit t'), ylabel ('y bzw. Amplitude A');
Charakteristisch für die Sinusschwingung ist, dass zum Zeitpunkt 0 der Funktionswert ebenfalls 0 beträgt (sofern keine Verschiebung der Phase vorliegt). Aufgrund der in diesem Beispiel angenommenen Frequenz von 1 durchläuft die Schwingung innerhalb von 1 Zeiteinheit ebenfalls 1 Zyklus; die maximale Auslenkung (Amplitude A bzw. Funktionswert y) beträgt 1.
Häufig währt jedoch eine Schwingung nicht unbegrenzt, sondern ihre Amplitude nimmt mit der Zeit ab. Dies kann beschrieben werden, indem die Amplitude A mit einem im Verlauf der Zeit exponentiell abnehmenden Term versehen wird.
T ... Abklingdauer (jedoch nicht die Schwingungsdauer; Zeit bis zur Abnahme der Amplitude auf den e-ten Teil (0,368).
Oder mit der Exponentialfunktion in eventuell gewohnterer Form
mit
Mit den Parametern Amplitude A = 1, Frequenz f = 5, Abklingdauer T = 0,5 und Phase j = 0.
t = linspace (0, 2, 1000); A = 1; f = 5; T = 0.5;
y = A.*exp(-t/T).*sin(2*pi*f*t);
y1 = exp(-t/T);
plot (t, y, t, y1), grid on, xlabel ('Zeit t'), ylabel ('y bzw. Amplitude A');
Zu beachten ist, dass in der Berechnung von y eine elementweise Multiplikation durchgeführt wird (gekennzeichnet durch den vorangestellten Punkt .* ). Die exponentielle Funktion y1 ist zur Veranschaulichung ebenfalls dargestellt.
Papula L. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1. Vieweg 2001
Kategorie: Modelling
Letzte Änderung: 18.11.2008