Verläuft die Elimination eines Pharmakons proportional zur im Organismus (noch) vorhandenen Menge des Pharmakons, wird dies als eine Elimination erster Ordnung bezeichnet. (Dies entspricht gleichzeitig dem Prinzip des radioaktiven Zerfalls.)
Eine mathematische Beschreibung ist durch folgende Beziehung möglich:
mit den Variablen
c(t) ... Konzentration zum Zeitpunkt t
c0 ... Anfangskonzentration
e ... Basis des natürlichen Logarithmus
k ... Eliminationskonstante
t ... Zeitpunkt
Ist die Eliminationskonstante k bekannt, kann somit für jeden Zeitpunkt
t die noch vorhandene Substanzmenge berechnet werden.
Umgekehrt kann bei noch unbekannter Eliminationskonstante k nach experimenteller Datenerhebung – bei angenommener Elimination erster Ordnung – aus der Anfangskonzentration c0 und der Konzentration c(t), also zum Zeitpunkt t, die Eliminationskonstante k berechnet werden.
Oftmals ist jedoch die Angabe der entsprechenden Halbwertszeit (HWZ) anschaulicher: Die Halbwertszeit ist jene Zeitspanne, nach der nur noch die Hälfte der Anfangskonzentration vorliegt. Nach zwei Halbwertszeiten ist nur noch ein Viertel der Anfangskonzentration vorhanden, nach drei ein Achtel usw. In biologischen Zusammenhängen kann davon ausgegangen werden, dass nach 4 bis 5 Halbwertszeiten eine Substanz praktisch vollständig eliminiert ist. Somit ist die Halbwertszeit ein Maß für die Verweildauer eines Pharmakons im Organismus.
Die Berechnung kann aus der Eliminationskonstante k erfolgen:
Ausgangspunkt ist eine Differentialgleichung, die aussagt, dass die Änderung der Konzentration pro Zeiteinheit dc/dt proportional der (noch) vorhandenen Konzentration c und einer Konstante k ist. Letztere besitzt ein negatives Vorzeichen, womit festgelegt ist, dass es sich im Verlauf um eine Konzentrationsabnahme handelt. Bei positivem Vorzeichen liegt exponentielles Wachstum vor.
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Dies ist eine Differentialgleichung, die – im Gegensatz zu vielen
anderen Differentialgleichungen – exakt gelöst werden kann. Der Weg ist
für Mathematiker wohl trivial (Integration durch Variablentrennung), für
Nicht-Mathematiker vielmehr beschwerlich. Das Ergebnis ist letztlich
(siehe auch oben):
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Aus der Eliminationsgleichung
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erhält man durch Division durch c0
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logarithmieren ergibt
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und schließlich nach Division durch -t
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Ausgangspunkt ist wieder die Eliminationsgleichung
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Nach einer HWZ, also t = HWZ, liegt nur noch die Hälfte der
Anfangskonzentration, 1/2 c0, vor. Eingesetzt in die
obige Gleichung ergibt dies
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Division durch c0 bringt diesen Term zum Verschwinden
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logarithmieren ergibt
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nach den Rechenregeln für Logarithmen folgt
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und nachdem der natürliche Logarithmus von 1 gleich 0 ist
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ergibt schließlich umformen
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Durch Einsetzen der Gleichung zur Berechnung von k kann die Halbwertszeit (HWZ) direkt berechnet werden:
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Kategorie: Pharmakologie
Letzte Änderung: 05.06.2008